Loading... **Q：如何学好微积分？** A：掌握：概念、性质、定义、定理、推论、公式、方法 [TOC] # §1.函数 ## 一、有界函数 判断函数是否一致：定义域一致、对应法则一致 **所谓有界，就是指值域在一个有限的范围内。** ### （一）定义 > **定义1.1**： > > 设 > $$ > y = f(x) \quad, \quad x\in D.\\ > \exists\quad N \leq M \quad(N,M \in R)\\ > \forall \quad x\in D,\quad N\leq f(x) \leq M > $$ > 称` f(x)`是D上的有界函数。`N` 称为`f(x)`的一个下界。 最大的一个下界，称为下确界。最小的一个上界，称为上确界。 > 定义1.1变形：推荐，可以使用绝对值不等式 > $$ > \exists \quad M>0,\forall \quad x\in D,\\ > \mid f(x) \mid \leq M\Leftarrow \Rightarrow -M\leq f(x) \leq M > $$ > 称y=f(x)在D上有界。 > **定义1.2** > $$ > \forall M >0, \exist X_m \in D,\mid f(x)\mid >M,\\ > $$ > 称f(x)是D上的无界函数。 ## 二、复合函数 ### （一）定义 > **定义1.3：** > > 设： > $$ > y=f(u),u \in D(f) \\ > u=\phi(x),u \in R(\phi),D(f)\bigcap R(\phi) \neq \emptyset\\ > y=f(\phi(x)) 称为复合函数 > $$ > `X`称为自变量，`Y`称为因变量，`U`称为中间变量。 > $$ > f(u)称为外层函数，简称为外函数\\ > \phi(x)称为内层函数，简称为内函数 > $$ ## 三、反函数 ### （一）定义 > **定义1.4：** > > 设 > $$ > y=f(x),x\in D,\\ > \forall x1,x2 \in D,且x1\neq x2,\\ > $$ > 都有 > $$ > f(x1) \neq f(x2),\\ > $$ > 称 > $$ > y=f(x),x\in D > $$ > > 为一一对应。反之， > $$ > \forall y \in R(f),\exists 唯一的x \in D,(且f(x)=y)与之对应 > $$ > 得到一个定义在R(f)上的函数。记作： > $$ > x=f^-1(y) > $$ > 称为 > $$ > y=f(x) > $$ > 的反函数。 习惯上，自变量用x表示，因变量用y表示。因此，反函数改写为： $$ y=f^-1(x) $$ 此时，其图像与 y=f(x) 关于直线 y=x 对称。 > 反函数的定义域就是函数的值域。 > > 反函数的值域就是函数的定义域。 应用：一些函数的值域比较难求，但是如果我们知道了反函数，也知道反函数的定义域，那么我们就能知道该函数的值域。 ## 四、单调函数 ### （一）定义 > **定义1.5：** > > 设 > $$ > y=f(x),x\in D,\\ > \forall x1,x2 \in D,且x1<x2,\\ > 都有 f(x1)\leq f(x2),\quad (f(x1)\geq f(x2)) > $$ > 称，y=f(x)是 D上的递增函数(递减函数)。 > > **递增函数**和**递减函数**统称为**单调函数**。 > $$ > \forall x1,x2 \in D,且x1<x2,\\ > 都有 f(x1) < f(x2),\quad (f(x1) > f(x2)) > $$ > 称y=f(x)是D上的严格递增（递减）函数。 > > 严格递增（递减）函数统称为严格单调函数。 ### （二）定理 > 定理1.1 > > 若 > $$ > y=f(x),x\in D > $$ > 是严格单调函数，则必有反函数。而且反函数也是严格单调。反之不成立。 > > 例如： $$ y = \frac{1}{x} $$ 其反函数为： $$ x = \frac{1}{y} $$ 其图像为：  ## 五、基本初等函数 以下六类函数，我们统称为**基本初等函数**。 ### 1.常值函数 $$ y=c \quad (c为常数,x\in R) $$ ### 2.幂函数 $$ y = x^\alpha \quad （\alpha 为常数，\alpha\neq 0) \quad x\in D\\ 该函数的定义域需要根据 \alpha 的值来确定 $$ ### 3.指数函数 $$ y=a^x\quad (a>0,a \neq1,a为常数)\quad x\in R $$ 当a>1时：  当a<1时：  指数函数的值始终时大于0的。 ### 4.对数函数 $$ y = \log _a x \quad (a>0,a\neq 1)\\ x\in (0,+\infty ) $$ 当a>1时：  当0<a<1时：  ### 5.三角函数 $$ y=\sin x\\ y=\cos x\\ y=\tan x\\ y=\cot x\\ y=\sec x\\ y=\csc x\\ $$ #### 5.1 余切函数 $$ y=\cot x\quad (x\neq k\pi,k\in Z) \quad (\frac{邻边}{对边})\\ $$ #### 5.2 正割函数 $$ y=\sec x =\frac{1}{\cos}\quad (x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z) \quad (\frac{斜边}{邻边}) $$ #### 5.3 余割函数 $$ y=\csc x =\frac{1}{\sin}\quad (x\neq k\pi,k\in Z) \quad (\frac{斜边}{对边}) $$ #### 5.4 三角函数重要公式 $$ 1+\tan^2x = 1+ \frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2 $$ 同理： $$ 1+\cot^2x = 1+\frac{\cos^2x}{\sin^2x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}=\frac{1}{\sin^2x}=\csc^2x $$ ### 6.反三角函数 > 反三角函数，即三角函数的反函数。 #### 6.1 sin x的反函数 $$ y=\sin x,x\in R\\ $$ 不是一一对应。但是 $$ y=\sin x,x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] $$ 是严格递增函数。因此就有反函数，记作： $$ x = \arcsin y \quad (y\in[-1,1])\\ $$ 其值域为： $$ x\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] $$ 按照习惯上，反函数写成： $$ y = \arcsin x \quad (x\in[-1,1])\\ $$ 其值域为： $$ y\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] $$ **图像：** y = arcsin x  #### 6.2 cos x的反函数 $$ y=\cos x,x\in[0,\pi] $$ 是严格递减函数 y=arccos x;  #### 6.3 tan x 的反函数 $$ y=\tan x\quad $$ 在 $$ x\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) $$ 上严格递增。因此，有反函数： $$ y=\arctan x \quad(x\in R) $$ 其值域为原函数的定义域 $$ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) $$ 其图像为：  #### 6.4 cot x的反函数 $$ y=\cot x $$ 在 $$ x\in (0,\pi) $$ 其反函数为 $$ \newcommand{\arccot}{\mathrm{arccot}\,} y= \arctan x\quad (x\in R) $$ 其值域为 $$ (0,\pi) $$ ## 六、初等函数 由六种基本初等函数经过**有限次**的**四则运算或复合运算**得到的函数称为**初等函数**。 由六种基本初等函数经过**有限次**的**四则运算**得到的函数称为简单函数。 > 简单函数一定是初等函数，但初等函数不一定是简单函数。 ## 七、非初等函数 不是初等函数的函数，称为非初等函数。 <u>一般来说</u>，分段函数是非初等函数。** $$ f(x)=\left\{ \begin{aligned} y&=-x\quad x<0\\ y&=2+x \quad x\ge 0 \end{aligned} \right. $$ 该函数可以写成 $$ y=\mid x \mid $$ 继续改写 $$ y=\sqrt{x^2} $$ 该函数是由 $$ y=\sqrt{u},\quad u=x^2 $$ 两个基本初等函数复合而成。因此是初等函数。 >当x >= 0时， >$$ >x=\mid x \mid = \sqrt{x^2} >$$ >当x < 0时， >$$ >x=-\mid x\mid = - \sqrt{x^2} >$$ > **猜测**：如果一个函数是一个解析式，那么这个函数就是初等函数。 一定要学会，如果一个函数是复合函数，能拆成几个基本初等函数或简单函数的复合。 ## 八、重要的几个函数 ### 1.符号函数 $$ \newcommand{\sgn}{\mathrm{sgn}\,} \sgn x=\left\{ \begin{aligned} -&1\quad x<0\\ 0& \quad x= 0\\ 1& \quad x>0 \end{aligned} \right. $$ ### 2.取整函数 记` [x]`，表示不超过 `x` 的最大整数。 按照函数定义，[x] 是R上 x 的函数，即： $$ y=[x],x\in R $$ #### **性质1：** $$ [x] \leq x <[x]+1 $$ #### 性质2： $$ x-1<[x] \leq x $$ ### 3.狄利克雷函数 $$ D(x)=\left\{ \begin{aligned} &1\quad x为有理数\\ &0 \quad x为无理数 \end{aligned} \right. $$ ### 4.幂指函数 $$ y=u(x)^{v(x)} \quad u(x)>0 $$ 若 A > 0， $$ A=a^{\log _aA }\quad (a>0,a\neq1) $$ 特别的， $$ a=e,\quad A=e^{\log _e A }=e^{\ln A} $$ $$ y=u(x)^{v(x)} = e ^{\ln{u(x)^{v(x)}}} = e^{v(x)ln e(x)} $$ 特别的， $$ y=x^x = e^{xlnx} $$ Last modification：May 20th, 2020 at 06:27 pm © 允许规范转载 Support 如果觉得我的文章对你有用，请随意赞赏 ×Close Appreciate the author Sweeping payments Pay by AliPay Pay by WeChat
