Q：如何学好微积分？

A：掌握：概念、性质、定义、定理、推论、公式、方法

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§1.函数

一、有界函数

判断函数是否一致：定义域一致、对应法则一致

所谓有界，就是指值域在一个有限的范围内。

（一）定义

定义1.1：

设

$$ y = f(x) \quad, \quad x\in D.\\ \exists\quad N \leq M \quad(N,M \in R)\\ \forall \quad x\in D,\quad N\leq f(x) \leq M $$

称 f(x)是D上的有界函数。N 称为f(x)的一个下界。

最大的一个下界，称为下确界。最小的一个上界，称为上确界。

定义1.1变形：推荐，可以使用绝对值不等式

$$ \exists \quad M>0,\forall \quad x\in D,\\ \mid f(x) \mid \leq M\Leftarrow \Rightarrow -M\leq f(x) \leq M $$

称y=f(x)在D上有界。

定义1.2

$$ \forall M >0, \exist X_m \in D,\mid f(x)\mid >M,\\ $$

称f(x)是D上的无界函数。

二、复合函数

（一）定义

定义1.3：

设：

$$ y=f(u),u \in D(f) \\ u=\phi(x),u \in R(\phi),D(f)\bigcap R(\phi) \neq \emptyset\\ y=f(\phi(x)) 称为复合函数 $$

X称为自变量，Y称为因变量，U称为中间变量。

$$ f(u)称为外层函数，简称为外函数\\ \phi(x)称为内层函数，简称为内函数 $$

三、反函数

（一）定义

定义1.4：

设

$$ y=f(x),x\in D,\\ \forall x1,x2 \in D,且x1\neq x2,\\ $$

都有

$$ f(x1) \neq f(x2),\\ $$

称

$$ y=f(x),x\in D $$

为一一对应。反之，

$$ \forall y \in R(f),\exists 唯一的x \in D,(且f(x)=y)与之对应 $$

得到一个定义在R(f)上的函数。记作：

$$ x=f^-1(y) $$

称为

$$ y=f(x) $$

的反函数。

习惯上，自变量用x表示，因变量用y表示。因此，反函数改写为：

$$ y=f^-1(x) $$

此时，其图像与 y=f(x) 关于直线 y=x 对称。

反函数的定义域就是函数的值域。

反函数的值域就是函数的定义域。

应用：一些函数的值域比较难求，但是如果我们知道了反函数，也知道反函数的定义域，那么我们就能知道该函数的值域。

四、单调函数

（一）定义

定义1.5：

设

$$ y=f(x),x\in D,\\ \forall x1,x2 \in D,且x1<x2,\\ 都有 f(x1)\leq f(x2),\quad (f(x1)\geq f(x2)) $$

称，y=f(x)是 D上的递增函数(递减函数)。

递增函数和递减函数统称为单调函数。

$$ \forall x1,x2 \in D,且x1<x2,\\ 都有 f(x1) < f(x2),\quad (f(x1) > f(x2)) $$

称y=f(x)是D上的严格递增（递减）函数。

严格递增（递减）函数统称为严格单调函数。

（二）定理

定理1.1

若

$$ y=f(x),x\in D $$

是严格单调函数，则必有反函数。而且反函数也是严格单调。反之不成立。

例如：

$$ y = \frac{1}{x} $$

其反函数为：

$$ x = \frac{1}{y} $$

其图像为：

五、基本初等函数

以下六类函数，我们统称为基本初等函数。

1.常值函数

$$ y=c \quad (c为常数,x\in R) $$

2.幂函数

$$ y = x^\alpha \quad （\alpha 为常数，\alpha\neq 0) \quad x\in D\\ 该函数的定义域需要根据 \alpha 的值来确定 $$

3.指数函数

$$ y=a^x\quad (a>0,a \neq1,a为常数)\quad x\in R $$

当a>1时：

当a<1时：

指数函数的值始终时大于0的。

4.对数函数

$$ y = \log _a x \quad (a>0,a\neq 1)\\ x\in (0,+\infty ) $$

当a>1时：

当0<a<1时：

5.三角函数

$$ y=\sin x\\ y=\cos x\\ y=\tan x\\ y=\cot x\\ y=\sec x\\ y=\csc x\\ $$

5.1 余切函数

$$ y=\cot x\quad (x\neq k\pi,k\in Z) \quad (\frac{邻边}{对边})\\ $$

5.2 正割函数

$$ y=\sec x =\frac{1}{\cos}\quad (x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z) \quad (\frac{斜边}{邻边}) $$

5.3 余割函数

$$ y=\csc x =\frac{1}{\sin}\quad (x\neq k\pi,k\in Z) \quad (\frac{斜边}{对边}) $$

5.4 三角函数重要公式

$$ 1+\tan^2x = 1+ \frac{\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}=\sec^2 $$

同理：

$$ 1+\cot^2x = 1+\frac{\cos^2x}{\sin^2x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}=\frac{1}{\sin^2x}=\csc^2x $$

6.反三角函数

反三角函数，即三角函数的反函数。

6.1 sin x的反函数

$$ y=\sin x,x\in R\\ $$

不是一一对应。但是

$$ y=\sin x,x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] $$

是严格递增函数。因此就有反函数，记作：

$$ x = \arcsin y \quad (y\in[-1,1])\\ $$

其值域为：

$$ x\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] $$

按照习惯上，反函数写成：

$$ y = \arcsin x \quad (x\in[-1,1])\\ $$

其值域为：

$$ y\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] $$

图像：

y = arcsin x

6.2 cos x的反函数

$$ y=\cos x,x\in[0,\pi] $$

是严格递减函数

y=arccos x;

6.3 tan x 的反函数

$$ y=\tan x\quad $$

在

$$ x\in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) $$

上严格递增。因此，有反函数：

$$ y=\arctan x \quad(x\in R) $$

其值域为原函数的定义域

$$ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) $$

其图像为：

6.4 cot x的反函数

$$ y=\cot x $$

在

$$ x\in (0,\pi) $$

其反函数为

$$ \newcommand{\arccot}{\mathrm{arccot}\,} y= \arctan x\quad (x\in R) $$

其值域为

$$ (0,\pi) $$

六、初等函数

由六种基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算得到的函数称为初等函数。

由六种基本初等函数经过有限次的四则运算得到的函数称为简单函数。

简单函数一定是初等函数，但初等函数不一定是简单函数。

七、非初等函数

不是初等函数的函数，称为非初等函数。

<u>一般来说</u>，分段函数是非初等函数。**

$$ f(x)=\left\{ \begin{aligned} y&=-x\quad x<0\\ y&=2+x \quad x\ge 0 \end{aligned} \right. $$

该函数可以写成

$$ y=\mid x \mid $$

继续改写

$$ y=\sqrt{x^2} $$

该函数是由

$$ y=\sqrt{u},\quad u=x^2 $$

两个基本初等函数复合而成。因此是初等函数。

当x >= 0时，

$$ x=\mid x \mid = \sqrt{x^2} $$

当x < 0时，

$$ x=-\mid x\mid = - \sqrt{x^2} $$

猜测：如果一个函数是一个解析式，那么这个函数就是初等函数。

一定要学会，如果一个函数是复合函数，能拆成几个基本初等函数或简单函数的复合。

八、重要的几个函数

1.符号函数

$$ \newcommand{\sgn}{\mathrm{sgn}\,} \sgn x=\left\{ \begin{aligned} -&1\quad x<0\\ 0& \quad x= 0\\ 1& \quad x>0 \end{aligned} \right. $$

2.取整函数

记 [x]，表示不超过 x 的最大整数。

按照函数定义，[x] 是R上 x 的函数，即：

$$ y=[x],x\in R $$

性质1：

$$ [x] \leq x <[x]+1 $$

性质2：

$$ x-1<[x] \leq x $$

3.狄利克雷函数

$$ D(x)=\left\{ \begin{aligned} &1\quad x为有理数\\ &0 \quad x为无理数 \end{aligned} \right. $$

4.幂指函数

$$ y=u(x)^{v(x)} \quad u(x)>0 $$

若 A > 0，

$$ A=a^{\log _aA }\quad (a>0,a\neq1) $$

特别的，

$$ a=e,\quad A=e^{\log _e A }=e^{\ln A} $$

$$ y=u(x)^{v(x)} = e ^{\ln{u(x)^{v(x)}}} = e^{v(x)ln e(x)} $$

特别的，

$$ y=x^x = e^{xlnx} $$